如何将此循环转换为高效的数学表达式

在数学中有一个求和规则，对于i=1..n，Σ(i) = n*(n+1)/2。

在你的情况下，i=1..num-1

endPrice = defaultPrice + Σ(rebirthPrice*(currentRebirth+i))
         = defaultPrice + Σ(rebirthPrice*currentRebirth) + Σ(rebirthPrice*i)
         = defaultPrice + (num-1)*(rebirthPrice*currentRebirth) + rebirthPrice*Σ(i)
         = defaultPrice + (num-1)*(rebirthPrice*currentRebirth) + rebirthPrice*(num-1)*num/2

为了直观起见，让我们应用分配律并将您的循环重写为：

for index = 1,num-1 do
    endPrice += rebirthPrice * currentRebirth
    endPrice += rebirthPrice * index
end

由于循环运行了 $n-1$ 次，因此第一部分向 endPrice 添加了 rebirthPrice * currentRebirth * (n-1)。

最后，您将 defaultPrice 添加到了 endPrice 中，而 defaultPrice 正是 rebirthPrice * currentRebirth。将其添加到循环中贡献的 rebirthPrice * currentRebirth * (n-1)，得到：

endPrice = rebirthPrice * currentRebirth * n

到目前为止，其次方程在循环中对终值产生什么影响？

endPrice += rebirthPrice * index

index 递增：1、2、3、…、num-1

因此，endPrice 增加了 rebirthPrice * (1 + 2 + ... + num - 1)。

有一个公式：

1 + 2 + ... + x = x(x + 1)/2

应用该公式，循环中的第二个方程式产生了以下贡献（取 $x = num-1$）：

endPrice += rebirthPrice * (num - 1)(num - 1 + 1)/2

简化：

endPrice += rebirthPrice * num * (num - 1)/2

因此，将这些内容综合起来：

endPrice = rebirthPrice * currentRebirth * num + rebirthPrice * num * (num - 1)/2
         = rebirthPrice(currentRebirth * num + num * (num - 1)/2)
         = rebirthPrice * num * (currentRebirth + (num - 1)/2)
         = rebirthPrice * num * (2 * currentRebirth + num - 1) / 2